Transform, Fourier Transform

参见小本硬皮笔记本关于变换的笔记
参见 wikipedia: Fourier transform

变换和反变换是分解和综合的过程，从计算的角度则分别是求内积和线性组合。

一般来说，变换对应着一组完备的正交基。

如 cos(nx), sin(nx) 构成 {f(x): x\in [-pi,pi]} 空间的完备正交基。

故 [-pi,pi] 上的函数都可以进行分解。对于 [-L, L] 周期函数，通过变量替换，可进行类似分解，故整个周期函数可进行分解，这就是 Fourier Series.

Fourier series 是针对周期函数的，但是其本源是 [-L,L] 支持集上的函数的分解。

Continuous Fourier transform 是Foureier series 在 L->\infty 的情况。

定理：对于某种变换，某一域上的采样等同于共轭域上的周期延拓，反之亦然。


以傅立叶变换为标称，给定函数 f(x), x \in [-L, L], 对其作傅立叶变换，为 F(w). 傅立叶级数是F(w) 的采样，故在时域上为周期延拓，故为周期函数。

从另一角度说，以傅立叶级数为标称，给定函数 f(x), x \in [-L, L], 对其作傅立叶级数，若对 f(x) 进行 zero padding, 则其傅立叶级数的结果越趋近于傅立叶变换。
二、

DTFT 是离散信号的傅立叶变换



以傅立叶变换为标称，给定函数 f(x), x \in [-\infty, \infty], 对其作傅立叶变换，为 F(w). DTFT 是f(x) 的采样，故在频域上为周期延拓，故为周期函数。采样周期为1，故频域周期为 2 pi.


以DTFT为标称，给定函数 f(n), n \in [0,N-1], 对其作DTFT，为 F(w). DFT 是F(w) 的采样，故在时域上为周期延拓，故为周期函数。采样周期为 2pi/N，故频域周期为 N.

从另一角度说，以DFT为标称，给定函数 f(n), n \in [0,N-1], 对其作DFT。若对 f(n) 进行 zero padding, 则其DFT结果越趋近于 DTFT。

zero padding is a common way to obtain more resolution in the frequency domain.

三、
视频编码中使用的是 DCT
它也是完备正交基


参见 matlab example/transform.m

 可以看到时域越宽，频域越窄。